Soal Nomor 1
Jika untuk setiap bilangan bulat n yang lebih besar dari pada 1
didefiniskan xn = xn-1 * x, maka 52015 = ....
Operasi
* untuk himpunan bilangan S = {0, 1,
2, 3, 4, 5, 6} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini
*
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
1
|
3
|
5
|
3
|
0
|
3
|
6
|
2
|
5
|
1
|
4
|
4
|
0
|
4
|
1
|
5
|
2
|
6
|
3
|
5
|
0
|
5
|
3
|
1
|
6
|
4
|
2
|
6
|
0
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
Pembahasan: D
S =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
setiap bilangan bulat n yang lebih besar dari pada 1
didefiniskan xn = xn-1 * x
sehingga untuk 52015 ==> 52015 = 52015-1 *
5
==>
52015 = 52014 * 5
Perhatikan pola
penyelesaian berikut:
Untuk n = 1 ==>
5 = 5 * 1 = 5 (nilai n = 1 digunakan, untuk mencari pola saja)
Untuk n = 2 ==> 52
= 5 * 5 = 4
Untuk n = 3 ==> 53
= 52 * 5 = 6
Untuk n = 4 ==> 54
= 53 * 5 = 2
Untuk n = 5 ==> 55
= 54 * 5 = 3
Untuk n = 6 ==> 56
= 55 * 5 = 1
Untuk n = 7 ==> 57
= 56 * 5 = 5
Untuk n = 8 ==> 58
= 57 * 5 = 4
Untuk n = 9 ==> 59
= 58 * 5 = 6
Untuk n = 10 ==> 510
= 59 * 5 = 2
Untuk n = 11 ==> 511
= 510 * 5 = 3
Untuk n = 12 ==> 512
= 511 * 5 = 1
Untuk n = 13 ==> 513
= 512 * 5 = 5
Untuk n = 14 ==> 514
= 513 * 5 = 4
. . . .
. . . .
. . . .
Untuk n = 2015 ==> 52015
= 52014 * 5 = ....
Berdasarkan pola
di atas maka didapat bahwa hasilnya merupakan 6 berulang, yakni selalu berulang
dengan angka-angka: 5, 4, 6, 2, 3, 1.
Oleh karena itu hasil dari 52015 dapat
dicari dengan menentukan sisa pembagi 2015 oleh 6
Sisa pembagi 2015 oleh 6 ≡ 2015 (mod 6)
≡
335 × 6 (mod 6) + 5 (mod 6)
≡ 0
(mod 6) + 5 (mod 6)
≡ 5
(mod 6)
Karena sisanya 5, maka hasil dari 52015 adalah
terletak pada pola yang ke-5 yaitu 3
Jadi,
52015 = 3
Solusi
Alternatif:
S = {0, 1, 2, 3,
4, 5, 6}
setiap
bilangan bulat n > 1 didefiniskan xn = xn-1
* x
sehingga untuk 52015 ==> 52015 = 52015-1 *
5
==> 52015 = 52014
* 5
Karena 52015
mempunyai pangkat ganjil, pola penyelesaian menggunakan perpangkatan ganjil dengan syarat n > 1,
yakni sebagai berikut:
Untuk n = 3
==> 53 = 52 * 5 = 5 * 5 * 5 = 4 * 5 = 6
Untuk n = 5
==> 55 = 54 * 5 = 53 * 52 = 6 *
4 = 3
Untuk n = 7
==> 57 = 56 * 5 = 55 * 52 = 3 *
4 = 5
Untuk n = 9
==> 59 = 58 * 5 = 57 * 52 = 5 * 4 = 6
Untuk n = 11
==> 511 = 510 * 5 = 59 × 52 = 6 * 4 = 3
Untuk n = 13
==> 513 = 512 * 5 = 59 * 52 = 3 * 4 = 5
Untuk n = 15
==> 515 = 514 * 5 = 513 * 52 = 5 * 4 = 6
.
.
. .
.
.
. .
.
.
. .
Untuk n = 2015 ==> 52015 = 52014 * 5
= ....
Berdasarkan pola di atas maka
didapat bahwa hasilnya merupakan 3 berulang, yakni selalu berulang dengan
angka-angka: 6, 3, 5.
Oleh karena itu hasil dari 52015
dapat dicari dengan menentukan sisa pembagi 2015 oleh 3
Sisa pembagi 2015 oleh 3
≡ 2015 (mod 3)
≡ 671 × 3 (mod 3) + 2 (mod 3)
≡ 0 (mod 3) + 2 (mod 3)
≡ 2 (mod 3)
Karena sisanya 2, maka hasil dari 52015
adalah terletak pada pola yang ke-2 yaitu 3
Jadi, 52015 = 3
Demikian lampiran Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Nomor 1 , semoga kita selalu bisa berbagi,
amien.....
---------------------
kirain n > 1
BalasHapusnilai n = 1 digunakan, untuk mencari pola saja,
Hapussupaya lebih 'gampang' mencarinya,
atau mungkin ada pendapat lain, silakan...dengan senang hati kita bisa berbagi...
syarat berlakunyakan harus n>1 sehingga nilai n yang harus diambil sebagai dasar untuk pembentukan pola adalah n=2 sehingga diperoleh pola
Hapusn = 2 -----> 4
n = 3 -----> 6
n = 4 -----> 2
n = 5 ------> 3
n = 6 ------> 1
n = 7 -------> 4 kembali ke n =2
sehingga ketika 2015/6 bersisa 5 sehingga n = 20015 akan sama dengan n =6 yaitu 1.....bagaimana pak tohir?
kalau memang n = 7 ==> kembali ke n = 2 lagi, bukankah polanya menjadi 5, bukan 6, sehingga 2015/5 sisa 0?
Hapuscontoh salah satu pertanyaan yang muncul: bagaimana dengan n = 8, 9, 10,....
yang artinya
5^8 = 5^7 x 5 = 2 x 5 = 3 (jika 5^7 = 2)
5^9 = 5^8 x 5 = 3 x 5 = 1 (jika 5^7 = 2)
5^10 = 5^9 x 5 = 1 x 5 = 5 (jika 5^7 = 2)
5^11 = 5^10 x 5 = 5 x 5 = 4 (jika 5^7 = 2)
5^12 = 5^11 x 5 = 4 x 5 = 6 (jika 5^7 = 2)
dstrsnya...
bukankah tidak berpola lagi atau tepatnya polnya sudah berbeda....?
atau bagaimana dengan Solusi Alternatif di atas?
HapusMengapa 5^8 jadi 3 Pak?
Hapusn=2 ->4
n=3 ->6
n=4 ->2
n=5 ->3
n=6 ->1
n=7 ->5
n=8 ->4 (kembali ke n=2)
goruntulu show
BalasHapusücretli
2KK1FL