Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 1 (Disertai Solusi Alternatifnya)

Soal:

Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f(x) + 2 f (1/x) = 3x untuk setiap x ≠ 0. Carilah nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x)!

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal  f(x) + 2 f (1/x) = 3x untuk setiap x ≠ 0,

Untuk menemukan nilai x: maka carilah terlebih dahulu nilai fungsi  f(x)-nya, dengan cara mengenolkan fungsi dari  f(1/x), fungsi  ini bisa dienolkan terjadi apabila dibuat fungsi kebalikan dari nilai x; artinya adalah mensubstitusi nilai kebalikan dari x ke persamaan tersebut sehingga di dapat dua persamaan, yaitu:

                     Untuk nilai x = x                                   ==> f(x) + 2 f (1/x) = 3x .......... (1)

                     Untuk nilai kebalikan dari x, x = 1/x     ==> f (1/x) + 2 f(x) = 3/x .......... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

f(x) + 2 f (1/x) = 3x | x 1   ==> f(x) + 2 f (1/x) = 3x     

f (1/x) + 2 f(x) = 3/x | x 2  ==> 2 f (1/x) + 4 f(x) = 3/x 

                                               --------------------------- –

                                                                –3 f(x) = (3x² – 6)/x                 ==>  f(x) = (2/x) – x

Dengan demikian fungsinya adalah  f(x) = (2/x) – x

Kemudian mencari nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = f(–x), diperoleh:

f(x) = f(–x)         ==> f(x) = (2/x) – x dan  f(–x) = – (2/x) + x

                          ==> (2/x) – x = – (2/x) + x

                   ==> (4/x) = 2x

                   ==> x² = 2

                          ==> x = ± √2      

                          ==> x = √2               atau      x = – √2

Jadi, nilai x yang memenuhi  f(x) =  f(–x) adalah x = √2 atau x = – √2

Solusi Alternatif Menurut Penulis:

Menurut informasi dari soal  f(x) + 2 f (1/x) = 3x untuk setiap x ≠ 0,

Bentuk Persamaannya: 1 f(x) + 2 f (1/x) = 3x

Agar nilai x memenuhi f(x) = f(–x), maka berlaku (perhatikan baik-baik polanya):

                                      3x : 1 = (2 x 3) : 1x

                                      3x x 1x = (2 x 3) x 1

                                      3x² = (2 x 3)

                                      x² = (2 x 3) : 3

                                      x² = 2

                                      x = ±√2   

                                      x = √2           atau      x = –√2

Jadi, nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x) adalah x = √2 atau x = –√2


-------
Pelajari juga untuk [Nomor 2], [Nomor 3], [Nomor 4], [Nomor 5], [Nomor 6], [Nomor 7],  [Nomor 8], [Nomor 9], dan [Nomor 10]